@ShunS さん、早速のご回答ありがとうございます！
回答内容はだいたい理解できましたが私の伝え方が悪かったため訂正させて下さい。
現在の業務を具体的にすると、
・フォームから問い合わせが来る
・問合せに対してチケットを切る
・チケット の担当者と問合せチーム（5人くらい）でラウンドロビン的に割り当てていく
・ラウンドロビンの単位は日単位（この日の問合せはAさんが全て担当）
・当番制なので翌日の質問チケットはBさんが担当
といった感じになります。
担当を割り当てる業務ではなく、担当の割当は自動になります。
頂いた解答から考えるにAsanaフォームを使う場合は「常にこのユーザーに割り当てる」の設定を日単位でAPIとかで変えられたら良いかなと思いました。
ただ、Googleフォームを使う可能性もありその場合はタスク（チケット）が起票されたことをトリガーとした担当者割当APIを作ったりするのが良さそうでしょうか。
もし既存機能でできそうであればアドバイス頂けると幸いです。