@Tetsuo_Kawakami さん、ご質問ありがとうございます 
タスクの期日を変更した時、通知方法だけをお伝えしている資料はないのですが、下記の情報が役立つと思いました。
メール通知の「アクティビティの更新」をオンにしていた場合
ご自身に割り当てられているタスクの期日が変更された時に、メールで通知が届きます。
Asana Guide のメール通知内、アクティビティの更新に記載されています。
Kawakamiさんのように、タスクの作成者やプロジェクトの管理者が、期日が変更された場合に通知を受け取りたい場合、下記の方法で実現できると思いました。
1. Asana 内で完結させる
こちらは、フォーラムリーダーBastienの最高にクールなAsanaルール内に書かれている「 
クロックマスターのルール 」を利用する方法です。
・「新しい期日の設定」をトリガーに、期日が変更されたタスクを「別のプロジェクトに追加」アクションを実行する
この別のプロジェクトには、期日の変更通知が欲しい管理者のみを入れることで、彼らにタスクの期日が変わった際に通知を送ることができます。
2. Asana と他サービスを連携させる
上記のルールのアクションを別のサービスに連携させることで、通知を送ることができます。
例えば、タスクの期日の設定をトリガーに、SlackやTeamなどご自身が利用されているチャットツールに通知を送ることができます。
もしこちらをご覧いただいている皆さんの中で、他にも良いアイディアがあればぜひお知らせください 