@Kentaro_Sakata さん、フォーラムへようこそ！
ご質問ありがとうございます。
色々な機能や色々な方法がありますが、最初は単純にタスクをチームメンバー全員に割り当てて、終わったら完了してもらうのがいいと思います。
タスク一覧の「フィルター」で、「未完了タスク」「すべてのタスク」など条件を切り替えることで、終わっていないタスクが一目瞭然です。
慣れてきたら「ダッシュボード」「高度な検索」や @Ka_Nishiyama さんの挙げられた機能など、色々試してみてください！
タスクを「複数のメンバーに割り当てる」機能を使用すれば、個別のメンバーや、チームのすべてのメンバーに一括でコピーを割り当てられるので便利です。
Asanaと従来の管理ツールの大きな違いは「仕事そのもの」を表現できるかと「仕事のための仕事」かの違いだと思います。
コースの一覧が別のトレーニングツールにあり、Asanaで「完了」ボタンを押すだけなら、ただ作業工数が増えるだけでAsanaの魅力が感じられません。（「トレーニングが終わったら、このスプレッドシートの自分の名前の欄に✔️を入れてください」と言うようなものです。）
Asanaタスクだけ読めば必要なアクションやリンクがすべてわかるように盛り込んでおくのがコツだと思います。
ご参考になれば幸いです！
（月末に開催しているAUAというイベントでは実際に画面をお見せしてアドバイスなどもできます。）